Kerala PSC Maths Mathematics Study Materials Notes
Clock and Time ക്ലോക്കിനെ സംബന്ധിച്ച എല്ലാം
1)ക്ലോകിലെ ഓരോ അക്കങ്ങൾക്കിടയിലെ കോണളവ്= 30°.
Eg: 12
↑ ↗1
↑↗
——————————————————————–
2).Minute സൂചി ഓരോ മിനുറ്റിലും 6° ചുറ്റും.
3). Hours സൂചി ഒരു മിനുറ്റിൽ ½°ചുറ്റും.
Then 1 hour; 60 Min.x ½ = 30°.
“ 12 ”. ; 12x30 = 360°.
“ 1Day ; 24x30 = 720°.
——————————————————————-
4). ക്ലോകിൽ ഒരുദിവസം Hr.,Min.സൂചികൾ 22 തവണ ഒന്നിന് മീതെ ഒന്നായി വരും.
അതായത് 0 ഡിഗ്രി.
₁₂
¹
⇗ ²
കാരണം = 11നും,1നും ഇടയിലുള്ള പൊതു സ്ഥാനമാണ് 12.00 മണി. Or
11നും,1നും ഇടയിൽ സൂചികൾ ഒരുമിക്കുന്നത് 12 മണിക്കാണ്.ദിവസം 2 തവണ ഇങ്ങനെ ഉണ്ടാകും.Then 24 hr ൽ നിന്ന് 2 കുറയുന്നു.
But, മറ്റെല്ലാ മണിക്കൂറുകളിലും സൂചികൾ ഒരുമിക്കും.
——————————————————————–
5) ക്ലോകിലെ സൂചികൾ 1ദിവസം, 22 തവണ എതിർദിശയിൽ വരും.അതായത് 180°.
₁₂
11 1
10 180° 2
9 ←——◈——-→3
കാരണം= 5നും, 7നും ഇടയിലുള്ള പൊതു സ്ഥാനമാണ് 6 മണി. Or
6മണി മുതൽ 7മണിവരെയുള്ള ഭാഗത്ത് 180° ഉണ്ടാവുന്നില്ല. ദിവസം 2 തവണ ഇങ്ങനെ സംഭവിക്കും.
So, ഈ 2 ,24 മണിക്കൂറിൽ നിന്ന് കുറയും. Then = 22
6). ക്ലോകിൽ ഒരു ദിവസം 44 തവണ സൂചികൾ നേർരേഖയിൽ വരും.
180° 22 തവണ+ 0° 22 തവണ = 44.
7).ക്ലോകിൽ ഒരുദിവസം സൂചികൾ 44 തവണ മട്ടകോണിൽ വരും. or 90°.
അതായത്, 1 മണിക്കൂറിൽ 2 തവണ 90°.
Eg; 12 1
2
◈——→3
↓ 4 = 90°.
6 5
കാരണം =3മണി, 9മണി എന്നിവ പൊതു- സ്ഥാനങ്ങളാണ്. Or
8നും,10നും ഇടയിൽ 3 തവണ മാത്രമാണ് മട്ടകോൺ ഉണ്ടാകുന്നത്.
2നും,4നും ഇടയിലും 3തവണ മാത്രം സൂചികൾ മട്ട കോണിൽ വരുന്നു.
അതായത്,8 തവണ മട്ടകോൺ വരേണ്ടിടത്ത് 6 മാത്രം.
12 മണിക്കൂറിൽ 2തവണ ഈ കുറവ് സംഭവിക്കുന്നു.Then;1 ദിവസം 4 തവണ.
മറ്റെല്ലാ മണിക്കൂറിലും, 2 തവണ സൂചികൾ മട്ടകോണിൽ വരും.
Then=44.
മുൻകാല ചോദ്യങ്ങൾ
1) സമയം 2.30 ആയി. എങ്കിൽ Hrs സൂചിക്കും, Min.സൂചിക്കും ഇടയിലുള്ള കോണളവ് എത്ര?
= “തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തിൽ Min.സൂചി, Hrs.സൂചിയെ കടന്നു പോയി എങ്കിൽ, അക്കങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള കോൺഅളവിൽ നിന്ന് തന്നിട്ടുള്ള സമയത്തിലെ മിനിട്ടന്റെ പകുതി കുറയ്ക്കുക., കടന്നു പോയില്ലെങ്കിൽ കൂട്ടുക”
12 1
2
↗ 3
⇃ 4
6 5
ഇവിടെ, Min.സൂചി Hrs സൂചിയെ കടന്നതായി കാണാം.
Then, 2നും 6നും ഇടയിലുള്ള കോണളവ് കൊണ്ട് 15 നെ കുറയ്ക്കാം.
അക്കങ്ങൾക്കിടയിലെ കോണളവ് 30° വീതമാണെന്ന് മുമ്പ് കണ്ടു.
Answer; 120°-15 = 105°.
2) ക്ലോക്കിൽ സമയം 3.00AM. സൂചികൾകിsയിലെ കോണളവ് എത്ര?
II I2 I
10 ↑ 2
9 └─→ 3
8 4
7 6 5
ഇവിടെ, Hrs.സൂചി Min.സൂചിയെ കടന്നിട്ടില്ല. Minutes ന്റെ സ്ഥാനത്ത് 00 ആണ്.
So, കോണളവിനെ 0 കൊണ്ട് കൂട്ടാം;
Then; 90°+00= 90°.
3) 9 മണിക്ക് ശേഷം ആദ്യമായി ക്ലോകിലെ സൂചികൾ ഒന്നിക്കുന്നത് എപ്പോൾ?
Equation = 60(X) - മിനുട്ടിൽ.
11
= 60x9
11 = 9മണി 49¹⁄₁₁ മിനുട്ടിൽ.
പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം
************
“Clock ലെ സമയം 11 വരെ ആയാൽ, പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം കാണാൻ ചോദ്യത്തിലെ സമയം 11.60ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. 11ൽ കൂടുതലായാൽ 23.60ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാം.
4) ക്ലോകിലെ സമയം 7.40 ആയാൽ, കണ്ണാടിയിൽ പ്രതിബിംബത്തിന്റെ സമയമെത്ര?
11.60- 7.40 = 4.20.
5) സമയം 12.20, കണ്ണാടിയിൽ നോക്കിയാൽ അതിലെ സമയമെത്ര?
23.60- 12.20 = 11.40
ഇനി മറ്റൊരു എളുപ്പ വഴിയും ഉണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന സമയം പേപ്പറിൽ അമർത്തി വരയ്ക്കുക .എന്നിട്ട് പേപ്പർ മറിച്ച് നോക്കിയാൽ അവിടെ തെളിഞ്ഞ് കാണുന്ന സമയമാകും പ്രതിബിംബത്തിലെ സമയം. വെറുതെ ഒരു രസത്തിന് അതു കൂടി പരീക്ഷിച്ച് നോക്കൂ….
★ മന:പാഠമാക്കേണ്ടവ★
**********
1). സമയം സൂചിപിക്കാൻ മണിക്കൂറിൽ Bell അടിക്കുന്ന ഒരു ക്ലോക്ക് 1 Day എത്ര Bell അടിക്കും?
= 156 തവണ.
2). പ്രവർത്തനരഹിതമായ ക്ലോക്ക് 1 Day എത്ര തവണ കൃത്യസമയം കാണിക്കും?
= 2.
3). ക്ലോക്കിലെ സമയം കണ്ണാടിയിൽ പ്രതിബിംബിച്ചാൽ 1
Day എത്രതവണ ക്യത്യസമയം കാണിക്കും?
= 4. ( 6മണി, 12)
==================
= ക്ലോക്ക് പ്രതിബിംബം =
==================
PSC ചോദ്യങ്ങളിൽ സ്ഥിരം ചോദിക്കുന്ന ക്ലോക്കിന്റെ പ്രതിബിംബം കണ്ടു പിടിക്കുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം::
Steps ? ?
? 1 മണി മുതൽ 11 മണി വരെയുള്ള സമയങ്ങളുടെ പ്രതിബിംബം കാണാൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തെ 11.60 (12.00) നിന്നു കുറയ്ക്കണം..
✅example:-
? 3.20 സമയം ഒരു മിററിൽ എങ്ങനെ കാണും?
Ans:-
11.60 -
03.20
————-
08.40
✔8.40 എന്ന് കാണും….
? 11.01 മുതൽ 12.59 വരെയുള്ള സമയത്തിന്റെ പ്രതിബിംബം കാണാൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തെ 23.60 (24.00) ൽ നിന്നും കുറയ്ക്കണം.
✅example:-
? ഒരു ക്ലോക്കിൽ സമയം 11.10 ആകുന്നു. അതിന്റെ mirror view എത്ര മണി?
Ans:-
23.60-
11.10
———–
12.50
✔12.50 എന്ന് കാണും
ക്ലോക്കിന്റെ സൂചികൾ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് കാണുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം…
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Tips::-
? 12ൽ തുടങ്ങുന്ന സമയങ്ങളുടെ കോണളവ് കാണാൻ തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തിന്റെ മിനിറ്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 11/2 (11 by 2) അല്ലെങ്കിൽ 5.5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക…
〰〰〰〰〰〰〰〰〰〰
Example:-
? 12.10 ആയ ക്ലോക്കിന്റെ മിനിറ്റ് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്ര ഡിഗ്രി?
Ans:-
12.10 ലെ മിനിറ്റു സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യ 10 ആണല്ലോ…
അത് കൊണ്ട്…
10 X 11/2
10 X 5.5 = 55°
? 12ൽ തുടങ്ങാത്ത സമയങ്ങളുടെ കോണളവ് കണ്ടുപിടിക്കാൻ, തന്നിരിക്കുന്ന സമയത്തിന്റെ മണിക്കൂറിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 30 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക…
മിനിറ്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 11/2 അല്ലെങ്കിൽ 5.5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് അവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക…
Example:-
? 9.15 ന്റെ മണിക്കൂർ മിനിറ്റ് സൂചികൾ തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്ര?
Ans:-
9.15
ആദ്യം മണിക്കൂറിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 30 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം..
9 X 30 = 270
ഇനി മിനിറ്റ് സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയെ 11/2 അല്ലെങ്കിൽ 5.5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം,
15 X 11/2 = 82.5
ഇനി ഇവ തമ്മിൽ ഉള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടു പിടിക്കാം…
270 - 82.5 =
187.5°
✅360-187.5= 172.5
അല്ലെങ്കിൽ 172 ½°
? ഇത്തരത്തിൽ ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം 180°യിൽ കൂടുതൽ ആണെങ്കിൽ അതിനെ 360ൽ നിന്നും കുറയ്ക്കണം…
Example:-
? 11.20 ആകുമ്പോൾ സൂചികൾ തമ്മിൽ ഉള്ള കോണളവ് എത്ര ഡിഗ്രി?
Ans:-
11 X 30 = 330
20 X 5.5 = 110
വ്യത്യാസം 330 - 110 =220
220 എന്നാൽ അത് 180നെക്കാൾ കൂടുതൽ ആണ്..
ഇങ്ങനെ ഉത്തരം വരുമ്പോൾ.
360ൽ നിന്നും കുറയ്ക്കണം..
360-220= 140✅
ക്ലോക്കിലെ സൂചികൾ തമ്മിലുള്ള കോണളവിനെ കുറിച്ച് പഠിക്കാം
ഒരൽപം ശ്രദ്ധിച്ചാൽ വളരെ എളുപ്പത്തിൽ ഈ കണക്ക് മനസിലാക്കാം.
കണക്കിലേക്ക് കടക്കും മുൻപ് ചില കാര്യങ്ങൾ ഒന്ന് ഓർമ്മിപ്പിക്കാം.
? വൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു ക്ലോക്ക് 360° ആണെന്ന് അറിയാമല്ലോ
? ഒരു ക്ലോക്കിനെ 60 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധയിൽ പെട്ടിട്ടുണ്ടോ ? അതാണല്ലോ 60 മിനുട്ട്
? അപ്പോൾ ഒരു മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് = 360/60 = 6 എന്ന് മനസിലായല്ലോ
? ഒരു മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് 6° ആണെങ്കിൽ 5 മിനുട്ടിന്റെ കോണളവ് 30° ആണെന്ന് മനസിലായല്ലോ ..
ഇനി കോണളവിന്റെ കണക്കിലേക്ക് വരാം.
ഒരു ക്ലോക്കിലെ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് =
30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്
ഇങ്ങനെ ലഭിക്കുന്ന ഉത്തരം 180 നേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യയാണെങ്കിൽ അതിനെ 360 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം . അതായിരിക്കും ഉത്തരം.
ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..
? സമയം 3.20 ആണെങ്കിൽ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?
ഉത്തരം:
30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്
30 x 3 - 5.5 x 20
90 - 110 = - 20
ഉത്തരം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെന്നത് കാര്യമാക്കെണ്ട
കോണളവ് = 20°
കഴിഞ്ഞു. മനസിലായോ ? എങ്കിൽ
മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കൂ..
? സമയം 11.15 ആണെങ്കിൽ മിനുട്ട് സൂചിയും മണിക്കൂർ സൂചിയും തമ്മിലുള്ള കോണളവ് എത്രയാണ് ?
ഉത്തരം:
30 x മണിക്കൂർ - 5.5 x മിനുട്ട്
30 x 11 - 5.5 x 15
330 - 82.5 = 247.5
ഇവിടെ കിട്ടിയ സംഖ്യ 180 നേക്കാൾ കൂടുതൽ ആയതിനാൽ അതിനെ 360 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കണം
360- 247.5 = 112.5
കോണളവ് = 112.5°
ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ Equations
ലഘുഗണിതം✔
━━━━━━━━━━
ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ Equations.
?1. ത്രികോണം (Triangle)
?3 കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക180°
?ചുറ്റളവ് = a + b + c _______
?ആകെ,വിസ്തീ’ണം =√s(s-a)(s-b)(s-c)
➡S = a+b+c/2
?2 അളവുകൾ മാത്രമായാൽ വിസ്.= ½xbh.
?2. സമഭുജ ത്രികോണം.
?ചുറ്റളവ് = 3a
?വിസ്തീ’ണം = √3/ 4 × a²
➡ √3 = 1.732
?3. ചതുരം(Rectangle)
?ചുറ്റളവ് = 2(നീളം+വീതി)
?വിസ്തീ’ണം = നീളം x വീതി _____
?വികർണങ്ങളുടെ നീളം = √നീളം²+വീതി²
?4. സമചതുരം(Square)
?ചുറ്റളവ് = 4a
?വിസ്തീ’ണം = a² ___
?വികർണങ്ങളുടെ നീളം = √2a
?5. സാമാന്ത രികം (Parallogram)
?ചുറ്റളവ് = 2 (a+b)
?വിസ്തീ’ണം = axh
?6. സമഭുജ സാമാന്ത’രികം(Rhombus)
?ചുറ്റളവ് = 4xa
?വിസ്തീ’ണം =½xaxb
?7. ലംബകം(Trapezium)
?ചുറ്റളവ് = Sum of Total Sides.
?വിസ്തീ’ണം =½(a+b)h
?8. വൃത്തം (Circle)
? ചുറ്റളവ് = 2πr
? വിസ്തീ’ണം = πr²
?9. വൃത്തസ്തൂപിക (Cone)
?വ്യാപ്തം = ⅓πr²h
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം =πr (1+r)
?10. വൃത്തസ്തംഭം(Cylinder)
?വ്യാപ്തം =πr²h
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 2πr (h+r)
?11. ഗോളം (Sphere).
?വ്യാപ്തം = ⁴⁄₃πr³
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 4 πr²
?12. അർദ്ധഗോളം (Hemisphere)
?വ്യാപ്തം = ²⁄₃ πr³
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 3 πr²
?13. ചതുരക്കട്ട (Cuboid)
?വ്യാപ്തം = നീളംxവീതിx ഉയരം
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 2(നീ.xവീ.+വീ.xഉ.+നീ.xഉ.)
?വികർണം =√നീളം²+വീതി²+ഉയരം²
?14. സമചതുരക്കട്ട (Cube)
➡ a വശമായ ക്യൂബുകൾ:
?വ്യാപ്തം =a³
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 6a²
➡ a പാദമായ ക്യൂബുകൾ:
?വ്യാപ്തം = a²h
?ഉപരിതലവിസ്തീ’ണം = 2a²+4ah
മാത്സ് ജനറല്‍ ക്വിസ്
“Mathematics” എന്ന വാക്ക് രൂപപ്പെട്ടത് ?
: മാത്തമാറ്റ (ഗ്രീക്ക്) ( പഠിച്ച സംഗതികള്‍ എന്നര്‍ത്ഥം )
. ലോഗരിതം പട്ടികയുടെ ഉപജ്ഞാതാവ് ?
: ജോണ്‍ നേപ്പിയര്‍….
. ഒരു സമചതുരത്തിന്‍റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണവും, ചുറ്റളവും തുലൃമായി വരുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖൃ ?
: 16
. “ ലുഡോര്‍ഫ് നമ്പര്‍” എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖൃ ?
: പൈ
പൈ ദിനം എന്ന് ?
: മാര്‍ച്ച് 14
. രാമാനുജന്‍ സംഖൃ = 1729
. മനുഷൃ കമ്പൃൂട്ടര്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞ ?
: ശകുന്തള ദേവി
. ലോകത്തിലെ ആദൃ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞ ?
: ഹിപ്പേഷൃ
. ഗണിത ശാസ്ത്ര നൊബേല്‍ ?
: ഫീല്‍ഡ്സ് മെഡല്‍
. “Zeero” ഇല്ലാത്ത സംഖൃനു സമ്പ്രദായം ?
: റോമന്‍ സമ്പ്രദായം
. ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലെ രാജകുമാരന്‍ ?
: കാള്‍ ഫെഡറിക് ഗോസ്
. Google എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖൃ ?
: 10 race to 100
. സമുദ്ര എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖൃ ?
: 10 race to 9
. ഹരണ ചിഹ്നവും, ഗുണന ചിഹ്നവും ആദൃമായി ഉപയോഗിച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ?
: വില്ലൃം ഓട്ടേഡ്
. ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിതാവ് ?
: ഭാസ്ക്കരാചാരൃ
. പാലിന്‍ഡ്രോം സംഖൃ ?
: തിരിച്ചെഴുതിയാലും, മറിച്ചെഴുതിയാലും ഒരേ സംഖൃ…..
i.e, 525, 323, 848…..
. “സൈഫര്‍” എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖൃ ?
: പൂജൃം….
. ഭാരതത്തിലെ യൂക്ലിഡ് ?
: ഭാസ്ക്കരാചാരൃ
. Ramanujan Institute of Mathematics - CHENNAI
. Binomial സംഖൃനു സമ്പ്രദായത്തിന്‍റെ പിതാവ് ?
: ദാലംബേര്‍
Important Equations Mathematics / പ്രധാന സമവാക്യങ്ങള്‍
▶️സർവ്വസമവാക്യങ്ങൾ.
▶️(a+b)² = a²+2ab+b²
▶️(a-b)² = a²-2ab+b²
▶️a²-b² = (a+b)(a-b)
▶️a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
▶️a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)
▶️a³+b³
─────── = a+b
a²-ab+b²
▶️a³-b³
────── = a-b
a²+ab+b²
▶️(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
▶️(a-b)³ = a³-3a²b+3ab²-b³
▶️(a+b)²+(a-b)² = 2(a²+b²)
▶️(a+b)² - (a-b)² = 4ab
▶️(a+b)²+(a-b)²
───────── = 2.
a²+b²
▶️(a+b)² - (a-b)²
───────── = 4.
a×b
▶️Pythagorus theory = √a²+b²
▶️Surds Laws.
▶️√a × √a = a. eg: √7×√7 = 7.
__
▶️√a×√b=√a×b
▶️a√b = a×√b. eg: 8√7 = 8×√7.
▶️(√a+√b)²= a+b+2√ab.
eg: (√5+√3)² = 5+3+2√5×3 = 8+2√5.
▶️(√a-√b)²= a+b-2√ab.
eg: (√7-√3)² = 7+3-2√7×3 = 10-2√21.
▶️a√c+b√c = (a+b)√c.
eg: 5√3+4√3 = (5+4)√3 =9√3.
▶️a√c-b√c = (a-b)√c.
eg: 8√3+2√3 = (8-2)√3 =6√3.
1 = √a-√b = √a-√b
▶️──── ───────── ────
√a+√b (√a+√b)(√a-√b) a-b
1 = √a+√b = √a+√b
▶️─── ───────── ─────
√a-√b (√a+√b)(√a-√b) a-b
▶️√a²×b =a√b. eg: √5²×3 =5√3.
▶️(n√a)^ = (a ¹⁄n) ³ = a.
eg: (3√5)³ = (5¹⁄₃)³ =5.
കൃത്യങ്കനിയമങ്ങൾ
▶️a²×a¹ = a³ ( 2+1)
▶️a²÷a¹ = a¹ (2-1)
▶️(a²)¹ = a² (2×1)
▶️( a)³ (a)³
( b) = (b)³
▶️a-³ = 1
──
a³
▶️(ab)² = a²×b² =ab⁴.
▶️(a)-² (b)² b²
── ── ──
(b) = (a) = a²
▶️aº = 1. 100º = 1
▶️a¹⁄² = 2√a. eg: 25¹⁄² =2√25 =5.
▶️a¹ = a² if, 1=2. eg: X¹=7² if X=’7’.
▶️(√a)² = a
പലിശ
▶️സാധാരണപലിശ = PxNxR/100
▶️കൂട്ട് പലിശ = P(1 + r )n
────
100
▶️അർദ്ധവാർഷിക കൂട്ട് പലിശ =
P(1 + r)2n
────
200
▶️പാദവാർഷിക കൂട്ട് പലിശ =
P(1 + r )4n
────
400
▶️(x-a) (x-b) (x-c)…(x-z) = O.
▶️റോമൻ സംഖ്യകൾ = total 7.
= L C D M Ⅰ V X
L=50 C=100 D=500 M=1000 Ⅰ=1 V=5 X=10.
▶️രാമാനുജൻ സംഖ്യ 1729
“രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ക്യൂബുകളുടെ തുകയായി രണ്ട് വിധം എഴുതാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ”
12³+1³, 10³+9³ = 1729
▶️ഹർഷദ് സംഖ്യ = “ഒരു പോലുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ആ സംഖ്യയും വർഗ്ഗവും ഒരു പോലെ അവസാനിക്കുന്നു”
6 x 6 = 36, 25 x 25 = 625
▶️ “X” Equations :
1 1
▶️X+── = K, if X²+── = K² - 2.
X X²
1 1
▶️X - ── = K, if X²+── = K² + 2.
X X²
1 1
▶️X+── = K, if X³+── = K² - 3K.
X X³
▶️ എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ തുക ▶️
n(n+1)
= ─────
2
▶️എണ്ണൽസംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക = n(n+1) (2n+1)
────────
6
▶️ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ തുക = n²
▶️ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ തുക= n(n+1)
▶️ക്യൂബുകളുടെ തുക = n(n+1)²
────
2
▶️ഒരു,ജോലി ചെയ്യാൻ;
Aയ്ക്ക് X Day, Bയ്ക്ക് Y Day. AയുംBയും ചേർന്ന്=
XxY
=───
X+Y
▶️Aയ്ക്ക് X Day, Bയ്ക്ക് Y Day. Aഒറ്റയ്ക്ക് ▶️
XxY
= ────
X-Y
▶️Aയ്ക്ക് X Day.Bയ്ക്ക് Y Day. C യ്ക്ക് Z Day. 3 പേരും ഒരുമിച്ചാൽ =
X Y Z
──────────
(XY)+(YZ)+(XZ)
▶️Aടാപ്പ് തുറന്നാൽ ടാങ്ക് X hrs ൽ നിറയും.Bടാപ്പ് തുറന്നാൽ Y hrs ൽ ഒഴിയും.2 ഉം തുറന്നാൽ എത്ര നേരം കൊണ്ട് ടാങ്ക് നിറയും▶️
X x Y
= ─────
X - Y
▶️ഹസ്തദാനം = n(n - 1)
───
2
▶️DTS (Distance,Time,Speed)
▶️വേഗത = ദൂരം/സമയം.
▶️സമയം = ദൂരം/വേഗത.
▶️Km/hr നെ m/s ആക്കാൻ=K/h x 5/18
▶️m/s നെ Km/hr ആക്കാൻ=m/s x 18/5
▶️ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ക്രിയാരീതി;
▶️-10 + -17 = -27
▶️-10 + 17 = 7
▶️ 10 + -17 = -7
▶️നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ക്രിയാരീതി;
▶️-10 - -17 = -7
▶️ 10 - -17 = -27
▶️-10 - 17 = 27
▶️ഗുണന സംഖ്യകളുടെ ക്രിയാരീതി;
▶️-10 x -17 = 170
▶️-10 x 17 = -170
▶️ഹരണസംഖ്യകളുടെ ക്രിയാരീതി;
▶️-170 ÷ -10 = 17
▶️-170 ÷ 10 = -17
▶️സമാന്തര ശ്രേണി.
▶️ആദ്യ പദം a. പൊതുവ്യത്യാസം d. nth പദം▶️
nth പദം = a +(n - 1)d
▶️ആദ്യ പദം a. പൊതുവ്യത്യാസം d. ആദ്യ nth പദങ്ങളുടെ തുക▶️
തുക = n/2 (2a+[n-1]xd)
▶️ ”<” = small. ”>” = big.
▶️M B T
▶️1 Million =10 Lakh
▶️1 Billion =100 Crore
▶️1 Trillion =10¹²
ഗണിത വിജ്ഞാനം
▶️ഗണിതശാസ്ത്ര വർഷം- 2012
▶️ഗണിത ശാസ്തദിനം - ഡിസംബർ22
▶️രാമാനുജൻ ജനിച്ചവർഷം 1887 Dec:22
▶️ രാമാനുജൻ സഖ്യ - 1729
▶️ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ പിതാവ് പൈഥഗോറസ്
▶️ആധുനിക ഗണിത ശാസ്തത്തിന്റെ പിതാവ് -റെനെ ദെക്കാർത്തെ
▶️ജ്യാമിതിയുടെ പിതാവ്-യൂക്ലിഡ്
യൂക്ലിഡിന്റെ ഗണിത ശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥം-എലമെന്റ്സ്
▶️ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലെ ബൈബിൾ -എലമെൻറ്സ്
▶️ഭാരതത്തിലെ യൂക്ലിഡ് - ഭാസകരാചാര്യൻ
▶️ഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ചരിത്ര പഠന ശാഖ - ക്ലിയോമെട്രിക്സ്
▶️ഭൂമിയുടെ ചുറ്റളവ് കണ്ടു പിടിച്ചതാര്▶️ ഇറാത്തോ സ്തനീസ്
▶️ഇറത്തോ സ്തനീസിന്റെ അരിപ്പ എന്തുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്- അഭാജ്യസംഖ്യകൾ
▶️ഗണിതത്തിലെ ആറ്റങ്ങൾ - അഭാജ്യ സംഖ്യകൾ
▶️ പൂജ്യം കണ്ടു പിടിച്ചത് ഇന്ത്യാക്കാർ ആണ്▶️
▶️ പൂജ്യത്തെ പറ്റി ആദ്യമായി പഠനം നടത്തിയ ഭാരതീയ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞൻ▶️
ബ്രഹ്മപുത്രൻ
▶️സാഹിത്യത്തിന് നോബൽ സമ്മാനം നേടിയ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ബർട്രാന്റ് റസ്സൽ
▶️ ഗണം എന്ന ആശയം ആവിഷ്ക്കരിച്ചത് - ജോർജ് കാന്റർ
▶️ത്രികോണമിതി കണ്ടു പിടിച്ചത് -ഹിപ്പാർക്കസ്
▶️സമചിഹ്നം കണ്ടു പിടിച്ചത് - റോബർട്ട് റെക്കോർഡെ
▶️അധികം(+),ന്യൂനം(-)ചിഹ്നങ്ങൾ കണ്ടു പിടിച്ചത് -ജോഹൻ വിഡ്ഡ് മാൻ
▶️ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലെ രാജകുമാരൻ - കാറൽ ഫെഡറിക് ഗൗസ്
▶️ ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാരതീയ രാജകുമാരൻ -ആര്യഭടൻ
▶️ ഒരു ഭാരതിയ ഗണിത ശാസത്രജ്ഞന്റ നാമത്തിലുള്ള കൃത്രിമ ഉപഗ്രഹം -ആര്യഭട്ട▶️
▶️ മനുഷ്യ കമ്പ്യൂട്ടർ എന്ന പേരിലറിയപ്പെടുന്ന വനിത - ശകുന്തളാ ദേവി▶️
▶️സംഖ്യകളുടെ പുസ്തകം എഴുതിയത്-ശകുന്തളാ ദേവി
ഒന്നിനോടൊപ്പം 100 പൂജ്യം ചേർന്നു വരുന്ന സംഖ്യ-ഗൂഗോൾ
▶️1നും 100 നും ഇടയിലുള്ള അഭാജ്യ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം - 25
▶️10 വരെയുള്ള എണ്ണൽ സംഖ്യകളുടെ തുക - 55 ( നൂറ് വരെ 5050)
▶️നൂറ് വരെയുള്ള സംഖ്യകളിൽ എത്ര 9കൾ ഉണ്ട്- 20
▶️റോമൻ രീതിയിൽ എഴുതുമ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാത്ത സംഖ്യ - പൂജ്യം
▶️ പൈ (π)യുടെ മൂല്യം 3.14 ( 22/7)
▶️ ഗ്രാഫ് കണ്ടെത്തിയത് - ദെക്കാർത്തെ▶️
▶️10 അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായം ദശാംശ സംഖ്യാസബ്രദായം
▶️2 അക്കങ്ങൾ മാത്രമുള്ള സംഖ്യ സമ്പ്രദായം ‘ ബൈനറിസംഖ്യാസബ്രദായം
▶️ബൈനറി സംഖ്യാസബ്രദായത്തിലെ അക്കങ്ങൾ - 0 & 1
Calendar in EXAMS / കലണ്ടറിലെ കളികള്‍
ഒരു സാധാരണ വർഷം 52 ആഴ്ചകളുൾപ്പെടെ 365 Days.
(യഥാർത്ഥത്തിൽ 365 ¼ Days)
366 Days ഉള്ളത് അധിവർഷം-LeapYear.
4 വർഷത്തിലൊരിക്കൽ ഇതുണ്ടാവും.
അധിവർഷം February-ൽ 29 Days ഉണ്ട്.
4 കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാവുന്ന വർഷങ്ങളാണ് ഇവ. Eg: 2016, 2020
അധിവർഷത്തിലെ ആദ്യ ദിനം(Jan 1) ഞായറാണെങ്കിൽ, അവസാനദിനം
(Dec 31) തിങ്കളാണ്.
എന്നാൽ, സാധാരണവർഷത്തിലെ ആദ്യദിനവും, അവസാന ദിനവും ഒന്നു തന്നെയാണ്.
400 കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാവുന്ന നൂറ്റാണ്ടുകളായുള്ള വർഷം അധിവർഷമാണ്. Eg; 2000, 1200
ODD DAYS.
ഒരു വർഷത്തിൽ പൂർണമായ ആഴ്ചകൾക്ക് ശേഷം വരുന്ന ദിവസങ്ങളാണ് ഒറ്റ ദിവസം
OR
4 ആഴ്ച Complete ആയതിനു ശേഷം വരുന്ന് മിച്ച ദിനങ്ങളാണ് Odd Days.
ഒരു സാധാരണ വർഷം = 1 Odd Day
“ അധി വർഷം = 2 “ ”
31 Days ഉള്ള മാസങ്ങളിൽ 3 Odd Days
30 “ “ “ 2 “ ”
Example;
മാർച്ച് ഏപ്രിൽ
S M T W T F S S M T W T F S
I 2 3 4 5 6 7 I 2 3 4
8 9 I0 II I2 I3 I4 5 6 7 8 9 l0 II
I5 I6 I7 I8 I9 20 2I I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8
22 23 24 25 26 27 28 I9 20 2I 22 23 24 25
29 30 31 26 2728 29 30
=3 Odd days. =2 Odd days
◆മാർച്ചിൽ 4 ആഴ്ചയ്ക്ക് ശേഷം 3 Odd days.
◆ ഏപ്രിലിൽ എല്ലാ ദിനങ്ങളും 4 ആഴ്ച്ച
വരത്തക്കവിധം ആക്കിയാൽ 2 ദിനങ്ങൾ മിച്ചം വരും.
ഒരു വർഷത്തിലെ 2 മാസങ്ങൾക്ക് ഒരു കലണ്ടർ ഉപയോഗിക്കാം;
☞ ജനവരി - ഒക്ടോബർ
ഒരു വർഷത്തിലെ 7മാസങ്ങൾക്ക് 31ദിനം
വീതം ഉണ്ട്. (Jan,Mar,May,Jul,Ag,Oct,Dec)
4മാസങ്ങൾക്ക്, 30 ദിനം വീതം (Ap,Jun, Sep,Nov).
February-യ്ക്ക് വ്യത്യാസം വരാം.,
അധിവർഷമെങ്കിൽ 29ഉം, സാധാരണവർഷമെങ്കിൽ 28 ഉം വരാം.
മുൻകാല ചോദ്യങ്ങൾ
──────────────
1).1984 ൽ ജനു, ഫെബ്രു.മാസങ്ങളിൽ ആകെ ദിവസങ്ങളെത്ര?
= 1984നെ 4 കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാം., So 1984 Leapyear ആണ്.
Then; 31+29 = 60Days.
2).2007 ജനു.1 ചൊവ്വയായാൽ, 2008 Jan1 എന്താഴ്ചയാകും?
2007നെ 4 കൊണ്ട പൂർണമായി ഹരിക്കാ
നാവില്ല. So, അത് സാധാരണവർഷം ആണ്.
Then, 07 Jan 1ചൊവ്വ- 07 Dec 31 ചൊവ്വ
2008 ജനു.1= ബുധൻ.
ഒരു വർഷം തുടർച്ചയായി 31 Days വീതം വരുന്ന മാസങ്ങൾ July, August.
അതുപോലെ Decmbr, Janaryകളിലും
31 Days വീതം ഉണ്ട്.
WORK & TIME / ജോലിയും സമയവും
ജോലിയും സമയവും എന്ന മേഖലയില്‍ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ സ്ഥിരമായി ചോദിക്കാറുണ്ട്. ഇന്ന് നമുക്ക് ജോലിയും സമയവും പഠിക്കാം
ഒരു ജോലി ചെയ്തു തീര്‍ക്കാന്‍ രാമുവിന് x ദിവസങ്ങളും ശ്യാമുവിന് y ദിവസങ്ങളും വേണം
അവര്‍ ഒരുമിചു ജോലിയെടുത്താല്‍ എത്ര ദിവസം
കൊണ്ട് ജോലി പൂര്‍ത്തിയാകും ?
ഒരു ദിവസം രാമുവിന് എത്ര മാത്രം ജോലി ചെയ്യനാവും 1/x
ഒരു ദിവസം ശ്യാമുവിന് എത്ര മാത്രം ജോലി ചെയ്യനാവും 1/y
രണ്ടു പേര്‍ക്കും കൂടി Z ദിവസം കൊണ്ട് ജോലി
പൂര്‍ത്തിയാക്കാമെങ്കില്‍, ഒരു ദിവസം രണ്ടു പേരും കൂടി ചെയ്യുന്നത് 1/z
അതായത്
Example : -
രാമു ഒരു ജോലി 10 ദിവസം കൊണ്ടും ശ്യാമു അതെ ജോലി 15 ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്താല്‍ രണ്ടുപേരും കൂടി അതെ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും .?
ഇതാണ് ചോദ്യം. താരതമ്യേന വളരെ എളുപ്പമാണ് ഇത് ചെയ്യാന്‍ . ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ട്. ഒരുപക്ഷെ നിങ്ങള്‍ക്കൊക്കെ അതറിയുകയും ചെയ്യാം. പക്ഷെ ഞാന്‍ ഇന്ന് പരിചയപ്പെടുത്തുന്നത് മറ്റൊരു രീതിയാണ് .
നോക്കൂ…
10, 15 എന്നിവയുടെ ല സാ ഗു (LCM) കാണുക.
30 എന്ന് കിട്ടും . ഇതാണ് ആകെ ജോലി
ഈ ആകെ ജോലി .
ഇനി ഈ 30 നെ A കൊണ്ടും B കൊണ്ടും ഹരിക്കുക.
3 എന്നും 2 എന്നും കിട്ടും .(ഒരു ദിവസത്തെ A യുടെയും B യുടെയും ജോലി ) അവ തമ്മില്‍ കൂട്ടുക.
3+2 = 5
ഈ കിട്ടിയ 5 കൊണ്ട് LCM നെ ഹരിക്കുക
30/5 = 6
ഉത്തരം : 6
ഇനി സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതി നോക്കാം.
ഇതാണ് സൂത്രവാക്യം
XY/X+Y
(10x15)/ 10+15
= 150 / 25 = 6
രണ്ടു രീതിയും മനസ്സിലായോ.???
ഏതാണ് നിങ്ങള്ക്ക് എളുപ്പം എന്നുവെച്ചാല്‍ അത് പിന്തുടരുക.
DATE കിട്ടിയാല്‍ ദിവസം എങ്ങനെ കണ്ടു പിടിക്കാം
⏩ 1986 ഫെബ്രുവരി 04 ഇതു ദിവസമായിരിക്കും എന്ന് എങ്ങനെ കണ്ടു പിടിക്കും ?
സംഭവം വളരെ സിമ്പിള്‍ ആണ് എനിക്ക് ജ്യോതിഷം ഒന്നും അറിയില്ലാട്ടോ
⏩ 1986 ഫെബ്രുവരി 04
ഇവിടെ വര്ഷം 1986 മാസം FEBRUARY ദിവസം 04
തന്നിരിക്കുന്ന വര്‍ഷത്തില്‍ നിന്നും 1 കുറയ്ക്കുക 1986 - 1 = 1985
കിട്ടിയ ഉത്തരത്തിനെ 4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക
1985 / 4 = 496.25 ( ഇവിടെ ശിഷ്ടം കളഞ്ഞേക്ക് ) = 496
തന്നിരിക്കുന്ന വര്‍ഷത്തോടൊപ്പം ഇത് കൂട്ടുക ( 1986 + 496 ) = 2482
ഇപ്പോള്‍ കിട്ടിയ ഉത്തരവും ജനുവരി 01 മുതല്‍ ഫെബ്രുവരി 04 വരെയുള്ള ദിവസങ്ങളും കൂട്ടുക
അതായത്
2482 + 31 ( ജനുവരി 31 ദിവസം ) + 4 (നമുക്ക് വേണ്ട ഡേറ്റ് ) = 2517
ഇപ്പോള്‍ കിട്ടിയ ഉത്തരത്തിനെ 7 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക
2517 ÷ 7 = ഇപ്പോള്‍ ഉത്തരം 359 ശിഷ്ടം 4 കിട്ടും ( ഉത്തരം മറന്നേക്കു ശിഷ്ടം മാത്രം മതി നമുക്ക് )
ശിഷ്ടം = 4
ഇനി താഴെ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ചാര്‍ട്ട് പ്രകാരം ദിവസം നിര്‍ണയിക്കാം
( ദിവസം കിഋ കൃത്യമായിരിക്കും ചെയ്തതൊക്കെ ശരിയനെങ്ങില്‍ )
0 വെള്ളി
1 ശനി
2 ഞായര്‍
3 തിങ്ങള്‍
4 ചൊവ്വ
5 ബുധന്‍
6 വ്യാഴം
ഇവിടെ ശിഷ്ടം 4 ആയതിനാല്‍ 04 ഫെബ്രുവരി 1986 ചൊവ്വാഴ്ചയായിരിക്കും
മനസ്സിലായോ എങ്ങനെയനെന്ന്‍
മനസ്സിലായെങ്കില്‍ നിങ്ങളുടെ ഡേറ്റ് ഓഫ് ബര്‍ത്ത് തന്നെ ആദ്യം ശ്രമിച്ചുനോക്ക്